[20,27] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 25 



Mais, à cause des parallèles KG, BA, on a KL = DG. Donc vicissim : 



KZ EV ' 



j-— = =jT' ce qui avait déjà été donné par la construction. 



Ainsi est établie la vérité d'une très belle proposition. Il est facile, 

 en procédant de même, d'étendre la construction et la démonstration 

 aux cas suivants, pour un nombre quelconque de lignes. Car, de même 

 que la construction pour deux lignes donne la solution du problème 

 pour trois, la construction pour trois lignes donne la solution pour 

 quatre, la construction pour quatre donne la solution pour cinq, et 

 l'application de la méthode se poursuit toujours de même indéfini- 

 ment. 



PnOPOSITION VIII ET DEHMÈRE. 



« Si d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles don- 

 nées de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés 

 sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, ou produisant 

 une aire donnée, ou dont la somme des carrés ou bien la différence des 

 carrés soit éqale à une aire donnée, le point sera sur des droites données 

 de position . 



Si cette proposition était vraie, elle aurait quatre parties, mais nous 

 n'avons trouvé qu'elle fût exacte que pour le rapport donné. Écartons 

 donc le reste, pour l'aire produite par les deux droites, pour la somme 

 ou la différence de leurs carrés, et rejetons-le comme faussement 

 inventé ou transporté d'ailleurs. 



Je propose donc comme suit le théorème corrigé : 



Si d' un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données 

 de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés sur les 

 premières, des longueurs dans un rapport donné, le point sein sur une 

 ligne droite donnée de position. 



Voici la construction : 



Soient AB, GC (/ig. 23) les parallèles données. A, F les points 

 donnés sur ces droites, BAH l'un des angles donnés, GFH l'autre. Les 

 points A et F étant donnés, avec les angles à ces sommets, les droites 

 ferm.vt. — ni. 4 



