[31,32] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 29 



rayon, décrivez le cercle VNO. Soit un point N quelconque sur sa cir- 

 conférence; joignez-le aux points donnés, par les droites NA, NB, Nd. 

 Je dis que AN- -+- NC^ — NB^ est égal à l'aire donnée. 



En effet, joignez IN; d'après la proposition précédente : 

 AN^ + NC^ = IN= + BN= + 2 AB X BC. 

 Donc AN= + NC-- NB== IN' H- 2ABx BC et la proposition est établie. 



PliOPOSITlOX II. 



« Si l'on joiiil un point à deux autres donnés et que les droites ainsi 

 menées soient dans un rapport donné, le premier point sera, soit sur une 

 droite, soit sur une circonférence. » 



Soient donnés les deux points A, C (Jig- 27), et supposons d'abord 

 le rapport d'égalité. Prenez en B le milieu de AC; élevez BD perpen- 



Fig. 27. 



diculaire; il est clair que, si l'on en prend un point quelcon(|ue i), on 

 aura AD = DC. 



Supposons maintenant un rapport d'inégalité; soient A, B i/ig. 28) 



R . R- AN 



les deux points donnés, ^ le rapport donné. Soit ^i = v|>- Entre AN 



