[33,34] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 31 



sur elle un point quelconque E, et qu'on abaisse la perpendiculaire 

 El, AE- soit égal au produit d'une donnée et de AI (c'est ainsi qu'on 

 doit ici entendre V abscisse à partir du point donné). 



Soit AB la longueur donnée ; sur AB je décris un demi-cercle ; il es! 

 clair d'après la construction que AB x AI = AE^. 



Il y a plus de difficulté pour le second cas, à savoir quand l'abscisse 

 part d'un autre point que A, comme dans l'exemple suivant : 



Soient donnés les deux points A, B {fig. 3o), et en outre un point E 

 sur la même ligne droite. Soit AB la longueur donnée. Il faut trouver 



Fig. 3o. 



une circonférence de cercle, soit PIO, telle que si d'un point quel- 

 conque I de cette circonférence l'on abaisse la perpendiculaire IR. 

 AP = AB X ER, AB étant la donnée. 



Appliquons BA x AE sur la droite BA en excès d'un carré : soit la 

 largeur AP = BO (' ). Le demi-cercle décrit sur PO satisfera à la ques- 

 tion. 



En effet, AI- = AR' + RF. Mais RF = PR x RO et, comme on le 

 prouvera tout à l'heure, 



PR X RO = AR X RB -f- OA X AP (= BP x PA = BA x AE). 



Donc AI- = AR^ -t- AR x RB + BA x AE, ou puisque 



AR^ + AR X RB = BA X AR, AP = BA x AR + AB x AE. 



( ' ) C'est-à-dire construisons AP d'après la condition : AB x AP + AP' = BA x AE. 



