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LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



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Soient A, B {fig. Sa) les deux points, yg le rapport donné, BA x AN 

 l'aire donnée. Soit IZ moyenne proportionnelle entre NI etIB; avec ce 

 rayon décrivez le cercle ZVR, prenez-en un point quelconque V, joi- 

 gnez VA, VB. Je dis que AV=- |^ x VB== BA x AN (rapport et aire 



donnés). 



Soit en effet VA x AO = BA x AN; joignez OB, NV, VI et menez 



BF parallèle à AN. Il faut prouver que 



AV X VO 

 VB^ 



AI 

 IB' 



Or 



NI 



_ = îr; ce sont les côtés d'un même angle dans les Irian- 

 gles NIV, VBI, qui sont donc semblables; donc les angles VNB, BVF 



Fiï. 32. 



sont égaux. Mais les angles VNB, VOB le sont comme inscrits dans le 

 même segment (car puisque BA x AN = VA x AO, les quatre points 

 N, B, V, sont sur un cercle); donc les angles VOB, BVF sont égaux. 

 Mais les angles OVB, VBF le sont aussi à cause des parallèles. Donc les 



OV VB 



triangles OBV, VBF sont semblables. Donc ït» = ïTf; : multipliant de 



VB 



BF 



AV 



part et d'autre par le rapport vrn) on a 



AVVB AV AIAyoy_ AVx VO 



VB ^ BF °" BF °" IB ~ VB ^ VB " VB^ 



c. 0- f- »• 



Pappus paraît avoir omis ici la proposition suivante qui est ana- 

 logue : 



Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le carrr 

 de l'une soit d'une aire donnée plus petit que dans un rapport donné avec 



Fermât. — lU. 5 



