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LIEUX PLANS D APOLLONIUS. 



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OEB, 0E- + EB==0B^+20ExEV(= aOExEZ), car EV = EZ. 

 puisque AE = EB. 



Aj(Uitaut membre à membre : 



A0^+0B-^+2 0ExEZ = (AE2-t-EB2)(z^2EA-^) + 2E0-^(=:2lFJ) + 20ExEZ. 



l'ig. V|. 



Retrancbant de part et d'autre 20ExEZ, il reste l'égalité annoncée, 

 cl la proposition est établie pour le premier cas. 



Soient donnés en ligne droite trois points B, D, E (fig. 35) et soit 

 BD>DE. Prenez CD = i(BD-DE). De C comme centre avec un 



FiR. .'f'). 



rayon quelconque CA, décrivez le demi-cercle AMF, je dis que, quelque 

 point M que l'on prenne sur sa circonférence, MB^-f- 1VID-+ ME^ sera 

 une somme constante. 



En effet, joignez MB, MC, MD, ME; prenez EN = CD et joignez 

 .MiN. Puisque BD - DE = 3CD = 3EN, on a DN + 2CD = BD ou 

 CN + CD = BD. Retranchez CD de part et d'autre : CN = BC. Puisque, 

 (l'antre part, CD = EN, d'après la seconde proposition de ce livre, 

 CM- + MN' - (DM= + ME-) est constant. Mais CM- est constant. Donc 

 DM'+ ME- fera une somme égale ii MN* ou plus grande ou plus petite 



