[39,40] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 37 



autres points donnés, fraction conditionnée par le nombre des points, 

 à savoir le quart dans l'exemple choisi. Soit donc 



AD = i(AB-hAC + AE). 



La position du point D varie suivant les cas. Je dis que la somme des 

 droites terminées par le point D et par les points donnés du côté du point A 

 sera égale à la somme des droites terminées par le point D et par les points 

 donnés du côté du point E. C'est-à-dire que l'on aura 



Dans la i" figure : ED = AD -h BD -i- CD. 

 Dans la 2» figure : ED + CD = BD + AD. 

 Dans la 3'= figure : ED + CD + BD = AD. 



D'abord dans la 3" ligure, par hypothèse, 4 AD = AB + AC -t- AE; 

 retranchez de part et d'autre 3 AD, il restera d'un côté AD; de l'autre, 

 retrancher 3AD de AB + AC + AE est la même chose que de retran- 

 cher AD de chacune des droites AB, AC, AE : il restera donc 



BD + CD + ED = AD. c. q. f. i.. 



Si l'on avait donné cinq points, on aurait d'un côté 5AD, de rautre 

 4 droites terminées à A et aux points donnés, etc. ; la méthode est tou- 

 jours la même et s'applique indéfiniment. 



Dans la 2^ figure, 4AD = AB + AC + AE; retranchez de part cl 

 d'autre 3AD et ajoutez BD, vous aurez AD -i- BD = ED + CD. 



Dans la i"'" figure, 4AD = ABh- AC + AE; ajoutez de part et d'autre 

 BD -^ CD et retranchez 3 AD; vous aurez AD 4- BD -+- CD = DE. 



La méthode est la même pour un nombre quelconque de points 

 jusqu'à l'infini, et la même conclusion sera tirée de quelque manière 

 (|ue l'on fasse varier les cas. 



Second lejime. — Soit faite sur la i'" figure {fig- 38) la construction 

 précédente; je prends sur la même droite un point N quelconque. Je 

 dis que la somme des carrés des droites terminées par les points donnés 

 et par N dépasse la somme des carrés des droites terminées par les points 

 donnés et par le point D, du carré DN pris autant de fois qu'il y a de 



