38 ŒUVRES DE l<KHMAT. [41] 



/xùiiis (lonni's, soil 4 dans l'('\('iii|)lr clioisi. Los 2" et 3" figures roin'c- 

 stMiteiil des cas différents. 



Fig. 38. 



Ane» E ,. 



^ — K 1 — 1 I" lijfuri' 



I) C E . 



--I — -^ — I a" hgure. 



D B C E , ,. 



-H 1 1 .>" Iigiiri'. 



Sur la première figure, en comparant eiiaque carré ii chaque autre, 



DM a 



AN*-1- BN^4- CN=- (ADM- BI)^-h CD^) 



= 3DNî-+-2AD.DÎS + 2BD.DN + 2CD.DN 



DU 



\N^ -+- BN= + CN^ = AD^ -+- BD' + CD' -H 3 DN^ 



-l-2AI).DN -t-sBD.DN -KaCD.DN; 



cela ressort évidemment de la formation du carré du binôme avec le 



signe -^. 



D'autre part : 



EN* = El)' + ND' - aED . DN, 



ce (]ui ressort de la formation du carré du binôme avec le signe — . 

 Par conséquent 



AN' + BN* + CW + EN°- = Al)^ + BD' + CD- h- ED= -h 4 DN' 



-h 2 AD . DN + 2 BD . DN + 2 CD . DN - 2 ED . DN. 



Si donc nous prouvons que la somme des rectangles en plus est 

 égale à celle des rectangles en moins, la vérité de la proposition sera 

 établie, à savoir que : 



AN' + BN' H- CN' -h EN= - ( AD- + BD- -+- CD' + ED' ) = 4 DN'. 



Il faut donc prouver que 2EI).DN = 2 AD.DN + 2BD.DN + 2CD.DN, 

 ou. en divisant tous les termes par 2DN, que l'on a l'égalité 



ED = AD + BD + CD. 



Or c'est ce qui a été démontré par le lemme précédent. 



