iSL ŒUVRES DK FERMAT. [li, 45] 



Seconde proposition. — Soient sur la droite AE (Jig. 43) des points 

 donnés (Ml nombre quelconque, (juatre par exemple, A, H, (".. K. et 

 un point en dehors de la droite AE; on cherche un cercle, comme 

 .Ml. tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ait 

 Ai--i- BI- -h CI- 4- Er--+-QI- égal à une aire donnée. 



Abaissez sur la droite AE la perpendiculaire QR et prenez AD, frac- 

 tion conditionnée de la somme AR -f- AB -i- AC + AE (le cinquième 

 dans ce cas où l'on donne cinq points). Élevez la perpendiculaire DO 

 et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RF = DN, fraction 

 conditionnée (ici le cinquième) de la droite QR, et soit l'espace donné 

 égal à la somme AD- + RD" + BD- + CD- + ED- -h Z. 



Faisons Z = 4DN- + ON- + jNM- (4 étant le nombre des points 

 donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je 

 dis que le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme rayon, 

 satisfait ii la question. 



En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI, 

 Bl. CI. El, QI. 3Ienez VIX parallèle à AE et lY parallèle à OD; il 

 est clair, d'après le corollaire do la proposition précédente, que 

 4DI-+ OI- = Z, car le point D joue le rôle de quatre points; et puisque 

 DN = iOD, il est évident que 4DP + OP = 4DN- -f- ON^ + 5NM-. Mais 

 ''iDN--+-0N- + 5NM-=Z par construction. Donc 4DI- -f- 0I-= Z. 



