[.5,46] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. W 



Mais 4DI- = 4DX- -+- 4X1- oi 01- = OX- + XF. Donc 



Z = 4DXM= 4IY=) + X0-(= VQ2) -H 5XP. 



Ajoutez de part et d'autre AD- + RD- -t- BD' + CD' -+- ED-, vous aurez, 

 dans le premier membre, l'espace donné, car, par hypothèse, il est 

 égal à la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre : 

 Al- -(- Bl-4- CI- + El- H- QI-, somme qui sera donc égale à l'espace 

 donné. 



En effet, d'après le second lemme : 



AD2 + RD^ + BD^ + CD^ + ED^ + 5 DY^ = A Y^ -+- RY^ h- B Y^ + CY^ + EY^ ; 



donc 



Air^ RD^-t- BD^-t- CD^-H ED2-H 41Y^-t- VQ-'+ 5DY^ 



= AY-+ RY-+ BY^-t- CY2+ EY^+ 4IY'-4- VQ^ 



Si, à chacun des carrés AY-, BY-, CY-, EY-, on ajoute lY-, on aura 



Al' ^ BI' -H CI- + EV- = A Y» + BY- + CY' ~ E\- -h 4 lY'. 

 Donc 



AD2+RD=+BD-+CD'-t-Er)'+4IY'+ VQ^+5DY2 

 = Al' + BP ^ CI' -t- lE' -+- RY- -h VQ'. 



Mais RY-(==VI-) ^QV== QF. Donc 



AD= -h RD' -h BD' H- CD' -h ED' + 4IY' + VQ' + 5DY' 

 = AP-+-BP+Cl'-4-EP+QP. 



Mais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée; 



donc 



AP -I- BP + CP -+- El' -t- QP = l'aire donnée. c. q. f. d. 



On en déduira facilement que l'aire donnée est égale à 



AN' -H BN' + CN' -H EN' + QN' -h 5NM', 



ce que nous avons omis comme évident. 



Bien plus le même artifice peut s'appliquer à un nombre quelconque de 

 points. 



