[W, 50] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 'i7 



En effet, joignez LA, LB et abaissez la perpendiculaire LO que nous 

 supposerons, comme premier cas, tomber entre E et B. Il est clair, 

 d'après la démonstration de la proposition III d'Apollonius [dans ce 

 même Livre], que EO.OB + VE.EZ(= NB.BI) = OU. 



Ajoutez de part et d'autre OB^, il vient 



EB.BO -4- NB.BI =: 0L2+ OB". 



Doublez : 2EB.BO + 2NB.BI(= AB.BH = 2(L0=+ OB^). Ajoutez 

 de part et d'autre 2NE.OB, il vient 



(2EB.B0-i-3NE.0B)(r:iAB.B0)H-AB.Bl 

 = 2(L0^-H OB') + 2NE.OB (= IB.BO), 



d'après la construction. 



Retranchant de part et d'autre OB-, il reste 



AO . OB + AB . BI = 2 LO^ -t- OB^ -4^ IH . 00. 



Retranchant de part et d'autre IB.BO, c'est-à-dire dans le premier 

 membre de AB.BI, il reste AO.OB + AO.BI ou en tout 



IO.OA = .iLO' + OB^ 



Ajoutez AO- de part et d'autre : 



IA.AO = A0=+0B2+ 2L0-=AL=-hLB=. .:. q. f. d. 



Je passe les autres cas. 



Proposition VII. 



" Si, à l'intérieur d'un cercle donné de position, on a un point donné, 

 par lequel on mène une droite; si l'on prend sur cette droite un point ex- 

 térieur, et que le carré de la menée jusqu'au point donné à l'intérieur soit 

 égal au produit de la droite totale et de sa partie extérieure, seul nu aug- 

 menté du produit des deux segments intérieurs au cercle, le point pris ci 

 l'extérieur sera sur une droite donnée de position. » 



Cette proposition comprend deux parties : la première est dans 

 Pappus (Livre VII, prop. 159); la seconde se déduit facilement de la 



