[111,62] CONTACTS SPHÉRIQUES. 39 



coupant les deux cercles, aux points 0, L, E, D. Apollonius Gallus a 

 démontré que l'on a 



AP.PQ = (il\PII^DP.PO = EP.PL. 



La vérité de cette proposition en sphérique importe pour les pro- 

 blèmes suivants. Mais elle est évidente; car si, autour de l'axe AP 

 immobile, on fait tourner en même temps les deux cercles et la droite 

 POLED, les droites PO, PL, PE, PD resteront invariables pour la raison 

 donnée dans le lemme précédent; les rectangles restent donc aussi 

 invariables et la proposition est vraie dans un plan quelconque. 



Lemme IM. — Soient données deux sphères YN, XM {/tg. 59), par 



Fig. 59. 



les centres desquelles on fait passer la droite RYNXMV ; je pose 



rayon YN YV „ ■ < ^r • . ^t^c. 1 i 1 



— — =rTj = yv ' point » > je mené VIS dans un plan quelconque, 



et je pose SV.VT = RV.VM. Si l'on décrit une sphère quelconque pas- 

 sant par les points T, S et touchant une des deux sphères, elle tou- 

 chera également l'autre. 



Supposons la sphère OTS, passant par les points T, S et tangente 

 en il la sphère MX; je dis que la sphère YN sera également touchée 

 par la sphère OTS. 



