(JO ŒUVRES DE FERMAT. [63,04] 



Jo prolongo VO jusqu'à sa sccontlc rencontre en Q avec la sphère 

 GTS. D'après le premier lemme : QV. VO = SV.VT. Mais par construc- 

 tion : SV.VT = RV.V.AI. Ce (l(M'ni(M" rectangle, d'après le second Icmmc, 

 est égal au produit de VO et de la droite passant par V, et prolongée 

 jusqu'à la rencontre de la sphère YN. Donc le point Q est sur la sur- 

 face de la sphère YN : il est donc commun aux surfaces des deux 

 sphères YN, OTS. 



Je dis maintenant que les deux sphères se touchent en ce point Q. 

 Menons en effet par le point V et un point quelconque de la sphère OTS, 

 une droite quelconque dans un plan quelconque, soit VZ qui, prolon- 

 gée, coupe les trois sphères aux points Z, D, H, K, P, B. D'après les 

 Icninies 1 et II : 



ZV.VB (sphère OTS) ==DV.VP (splières XM, YN). 



Mais DV>VZ, puisque la sphère OTS touche extérieurement la 

 sphère XM en 0, et que la droite qui coupe la sphère OTS la rencon- 

 trera dès lors avant de rencontrer la sphère XM. Puis donc que 

 DV.VP = ZV.VB et que ZV < DV, on aura PV < BV. Donc le point B 

 est extérieur à la sphère YN. 



On prouvera, par un raisonnement pareil, que tous les points de la 

 sphère enveloppante sont extérieurs, sauf le point Q. Donc la sphère 

 OTS y est tangente à la sphère YN. o. o. f. d. 



La démonstration sera la même et aussi facile pour les contacts in- 

 térieurs et dans tous les cas. 



Lemme IV. — Soient le plan AC {fig- 6o) et la sphère DGF, dont le 

 centre est 0; par le centre 0, je mène FODB perpendiculaire au plan, 

 puis, par le point F, une droite quelconque coupant la sphère en G et 

 le plan en A. Je dis que AF.FG = BF.FD. 



En effet, coupons la sphère et le plan donné suivant le plan du 

 triangle ABF; soient, comme intersections, le cercle GFD sur la sphère, 

 la droite ABC dans le plan. FB, perpendiculaire au plan AC, le sera à 

 la droite AC. On a donc, dans un même plan, le cercle DGF et la 

 droite AC, avec FDB passant par le centre du cercle et perpendicu- 



