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CI M-K = IF.Fll; donc IF.FH = BF.FN. Donc le poiiil N est sur la siir- 

 l'aoo do la sphère IBII. 



Il faut maintenant prouver que les sphères EGF, IBH sont tangentes 

 en N, ce qui est facile. Par le point F et un point quelconque de la 

 sphère EGF, je mène FR qui rencontre la sphère IBH en M et on P, 

 et le plan AC en K. D'après le lemme précédent, 



KF.FR = Ci<".FE — IF.FH (par construction) = PF.FM. 



^lais si KF.FR = PF.FM, comme KF > FP (la sphère IBH étant tan- 

 gente en B au plan AC), FR < F.M; donc le point R est extérieur ii la 

 sphère IBH. lien sera de même pour tout autre point de la sphère EGF 

 dans un plan quelconque des deux côtés du point N. Donc les sphères 

 EGF, IBH sont tangentes en N. 



Ces lemmes quoique faciles sont très heaux, surtout III et V. Dans 

 le lemme III, en effet, on a une infinité de sphères tangentes à la sphère 

 XM et passant par les points T, S, mais il est prouvé que toutes ces 

 sphères en nombre infini sont tangentes à la sphère YN. Dans le 

 lemme V, on a de même une infinité de sphères passant par les points I, 

 H et tangentes au plan AC, et toutes ces sphères en nombre infini 

 touchent la sphère EGF. 



(^eci posé, il est facile de résoudre les autres problèmes. 



Prodlèiie VIII. 



Étant donnés deux points, un plan et une sphère, trouver une sphère 

 passant par les points donnés et tangente au plan donné et à la sphère 

 donnée. 



Soient donnés le plan ABC {f'g- 62), la sphère DFE, et les points H, 

 .^1. Par le centre de la sphère donnée, j'abaisse sur le plan donné 

 ABC la perpendiculaire EODB; je joins HE, et je pose BE.ED = HE.EG. 

 Le point G sera donné. 



Étant donnés trois points H, G, M et un plan, on cherchera (pro- 

 blème II) une sphère passant par les trois points donnés et tangente 

 au plan donné. Elle résoudra le problème. 



