[72,73] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 69 



DE . IH. On aura DE . FH = DI . IH. Mais, DE, FH étant données, DE . FH 

 Je sera; donc DI.IH; et ce produit appliqué sur la droite DH donnée 

 de grandeur est en défaut d'une figure carrée ( ' ) ; donc IH est donnée, 

 et par différence IF. Mais F est donné de position, donc le point I et 

 tout le triangle AIC. Il est facile de remonter de l'analyse à la syn- 

 thèse. 



Pour dissiper tous les doutes, il est aisé de prouver que le triangle 

 cherché est semblable au trouvé AIC de la seconde figure (^fig. 66) 



(ce triangle peut au reste avoir son sommet des deux côtés du point F, 

 à égale distance de part et d'autre du point F; il sera le même d'es- 

 pèce et de grandeur, la position seule sera différente). Si le triangle 

 cherché n'est pas semblable au trouvé, la base restant la même, son 

 sommet tombera entre les points F, I, ou entre les points I, A (le côté 

 n'importe pas, car du côté FC on peut faire la même démonstration 

 avec le second triangle AIC.) 



Soit d'abord le sommet entre A et I, et supposons, s'il est possible, 

 le triangle cherché semblable au triangle AMC. Je joins FM, et j'abaisse 



la perpendiculaire FP; le rapport rrjr^ sera donné par hypothèse et par 



conséquent égal à ^ que nous avons prouvé être égal au rapport 

 donné; ce qui est absurde. 



(>) C'est-à-dire que DI.IH = DII.IH - IH^. 



