82 ŒUVRES DE FERMAT. [86,871 



Cette construction faite, il est clair que lAS, menée par le sommet 

 du diamètre MA parallèlement à l'ordonnée XN, est tangente ii la para- 

 bole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole 



XV VN AS- 

 en B. Donc (Apoll., 111, i-j) j..^' ., = ^rz-,- Mais les quatre points X, 



N, D. R étant donnés, le rapport |.Trvi) ^'^^ donné, donc ^j,, > donc 



^^- Mais ASB est donné, comme égal, h cause des parallèles, au 



donné XVR. Ainsi, dans le triangle ASB, l'angle au sommet S est 

 donné avec le rapport des cotés ^-j^; donc ce triangle est donné d'es- 



pèce, donc SAB et le rapport '^r.p donc, puisque AP — ^AB, le rap- 

 port '.-p est donné. Ainsi dans le triangle SAP, l'angle en A est donné 



SA 

 avec le rapport des côtés j-./, donc le triangle est donné d'espèce, 



donc PSA est donné. 



Ceci posé, SP, qui passe par le milieu de la corde AB joignant les 

 points de contact des tangentes, sera un diamètre de la parabole 

 (Apoll., II, 29). Mais, dans la parabole, tous les diamètres sont paral- 

 lèles, donc le diamètre MA est parallèle à SP, donc lAM = ASP. Mais 



ASP est prouvé donné; donc lAM, et son alterne-interne NMA. Mais 

 M, milieu de NX, donnée de grandeur et de position, est donné. Donc 

 MA, diamètre, est donné de position avec l'angle des ordonnées AMN 

 et les deux points N, D de la parabole. Donc, d'après le lemme, là 

 parabole est donnée de position, et il est facile de remonter de l'ana- 

 lyse à la synthèse. 



Il est clair que, dans ce dernier cas, deux paraboles satisfont au 

 problème, car les droites DN, XR, supposées non parallèles, se ren- 

 contrent, et alors, par le même raisonnement, on peut tracer une 

 parabole qui résout également le problème. 



