8i ŒUVRES DE FERMAT, [88. 89) 



■ MO I . UR> .. , , , . FO.OC , • . r -, 



a y\v>, \c rap|>ort jj^ soit égal au donne — p.T2— (ce qui est facile, 



puisque l'angle MRU est donné), et si l'on fait passer par le point U 

 une section conique ayant AQ pour diamètre et tangente en M, B aux 

 droites ^lA, AB (ce qui est très facile et donnera d'ailleurs, suivant 

 les différentes positions du point U, soit une parabole, soit une hyper- 

 bole, soit une ellipse; je n'ajoute pas ce qui serait superflu, surtout 

 pourvous); je dis que la section conique ainsi décrite passera par le 

 point 0. 



Soit en effet P le point où elle passera de l'autre côté. La droite UR, 

 parallèle à l'ordonnée MB, sera tangente à la conique; donc, si celle-ci 



I ■ , ,^ PF.FO UK^ ,. ,, ,,, ,., ,, . 



passe par le point O, on aura — pvïr" = îr^p (Apoll., III, b). Mais, par 



construction, ^^ = ^^^^- Donc PF.FO = FO.OC ; donc FO = PC ( ' ;. 



Or il en est ainsi; car, Q étant le milieu de MB, on a FX = XC; 

 d'autre part, dans la conique, OX — XP; donc, par différence, 

 FO = PC. 



Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse, par une démon- 

 stration conduisant à l'impossible. 



( ' ) La conclusion devrait être PF = OC. ce qui revient au même en retranchant OP de 

 part et d'autre. 



