LIEUX EN SURFACE. 



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dans le plan considéré, la courbe NIP comme lieu {fig. 89). Abaissons 

 sur ce plan, des points A, E, C donnés par hypothèse, les normales AB, 

 EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD, 

 abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi 

 que leurs points de rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le 

 lieu NIP un point quelconque I, et joignons AI, BI, El, IF, CI, DI. 



Les droites AI, El, CI joignant aux points donnés A, C, E un point I 

 du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale i» l'aire donnée. 

 Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont 

 données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BI- + FI--t-DF, 

 somme qui dès lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés 

 dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu; ainsi, on a des droites 

 BI, FI, DI menées de points B, F, D donnés dans un même plan, 

 droites concourant en un même point d'un lieu dans le même plan, et 

 dont la somme des carrés est égale à une aire donnée; d'après un 

 théorème d'Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on 

 sait que le lieu NIP est un cercle donné de position. 



Une analyse absolument semblable donnera les mêmes consé- 

 quences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quel- 

 conques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles 

 comme lieux; d'après le lemme 2, la surface cherchée sera donc une 

 sphère. 



En effet, quand nous cherchons un lieu en surface satisfaisant à une 

 question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée 



Fermât. — IM. il\ 



