[115,116] LIEUX EN SURFACE. 107 



l'égale à l'aire donnée, l'analyse donnera comme lieu, dans le plan 

 supposé, un cercle ou une ellipse, et sa marche même prouvera que 

 dans aucun autre plan donné de position, quel qu'il soit, le lieu ne 

 peut être d'une autre nature. Il est donc clair, d'après le lemme 3, 

 que le lieu cherché, dont les sections sont seulement des cercles ou 

 des ellipses, est un sphéroïde. 



Si la somme des carrés d'une partie déterminée des droites ainsi menées 

 est à la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence 

 donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que 

 dans un rapport donné, la surface cherchée sera celle d'un sphéroïde, 

 d'un conoïde, d'un cône ou d'un cylindre, etc., suivant ce qui sera in- 

 diqué par l'analyse convenablement menée. 



Par exemple, si l'on donne le rapport, on aura en général une sur- 

 face de conoïde ; mais, si les plans donnés se coupent suivant des 

 droites concourant en un même point, la surface deviendra conique ; 

 si les intersections des plans donnés sont parallèles, la surface sera 

 cylindrique. On aura d'ailleurs soit un cylindre ordinaire, soit un des 

 nôtres. 



La pratique découvrira immédiatement ce qui en est; je me borne à 

 donner des indications générales et sommaires, pour que la trop 

 grande multiplicité des exemples n'empêche pas de saisir clairement 

 la méthode. 



J'ai réservé pour la dernière place un exemple du plan comme lieu, 

 qui aurait peut-être dû occuper la première : 



Soient donnés de position des plans en nombre quelconque ; si à ces 

 plans on mène d'un même point, sous des angles donnés, des droites dont 

 la somme soit égale à une droite donnée, ce point sera sur un plan donné 

 de position. 



Coupons en effet, suivant la méthode indiquée, les plans donnés 

 par un plan quelconque donné de position et cherchons-y le lieu sa- 

 tisfaisant à la question, d'après la méthode donnée pour les lieux 

 plans. Ce sera une ligne droite, comme le montrera l'Analyse, et il en 



