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sera do môme pour toutes les autres sections planes. Il est donc clair, 

 d'après le lemmo 1, que le lieu cherché est une surface plane. 



Sf la somme il'unc partie dcterminée des droites ainsi menées est à 

 la somme des autres dans an rapport donné ou dans une différence 

 donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que 

 dans un rapport donné , le point sera de même sur une sur/ace plane 

 donnée de position . 



D'ailleurs, dans les questions précédentes, si les plans donnés 

 avaient été parallèles entre eux, le lieu eût été également une surface 

 plane, ce qu'il est à peine nécessaire de remarquer. 



Comme couronnement, j'ajouterai encore une notahle extension du 

 lieu à trois ou quatre droites d'Apollonius : 



Soient trois plans donnés de position ; si d'un point donné on mène aux 

 plans donnés, sous des angles donnés, des droites telles que le produit de 

 deux d'entre elles soit au carré de la troisième dans un rapport donné, le 

 lieu du point sera soit un plan, soit une. sphère, soit un sphéroïde, soit un 

 conoide, soit une surface conique ou cylindrique ((les anciens ou nouvelle), 

 selon la diverse situation des plans donnés. 



De même pour quatre plans, ainsi qu'il sera aisé de le voir. 



Les divers cas, les conditions-limites pour les données, les pro- 

 blèmes ou théorèmes locaux en nombre infini qu*e nous avons omis 

 pour être plus bref, la démonstration des lemmes énoncés et tout ce 

 qui aurait peut-être besoin d'une plus longue explication, sera facile- 

 ment suppléé par tout géomètre soigneux et réfléchi qui aura lu cet 

 écrit; désormais ce sujet, qui paraissait singulièrement ardu, est 

 rendu aisé à comprendre. 



Toulouse, G janvier iC,'i3. 



