[127, m] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 117 



TROISIÈxME PARTIE DE LA DISSERTATION. 



Cela peut suffire pour la théorie générale; car les problèmes que 

 Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré 

 trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode 

 générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit com- 

 prendre ceci en ce sens qu'il faut au moins ce degré pour toutes les 

 questions absolument, car une infinité de cas spéciaux se prêtent à un 

 abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener 

 l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié 

 moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, loo fois, et indéfiniment 

 moins élevés pour certains cas. On reconnaîtra mieux ainsi l'erreur 

 de Descartes, et elle trouvera sa correction immédiate par l'analyse ; 

 au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés éle- 

 vés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants. 



Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux don- 

 nées. Soient /-'et d les deux données, a la première moyenne ii trouver, 

 on a l'équation a' — h'd. D'après Descartes, cette équation ne peut 

 être résolue que par des courbes du 5' ou du G*" degré. Dans la seconde 

 Partie de cette Dissertation, elle est, avec toutes les autres de même 

 nature, résolue généralement par des courbes du 4" degré. Mais rien 

 ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3" degré. Egalons 

 en effet chacun des membres de l'équation au terme a'e'-J. Si, dans 

 l'équation avec a\ on divise de part et d'autre part par a\ il vient 

 e'^d = a^, ce qui donne, comme on voit, une courbe du 3* degré. De 

 l'autre côté, a'e-d = /,»%/; divisant par d et extrayant la racine carrée, 

 a-e=^h'\ ce qui donne également une courbe du 3^ degré. L'inter- 

 section de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la so- 

 lution du problème proposé au moyen de courbes du 3* degré. 



Soit proposé'maintenant de trouver douze moyennes proportionnelles 

 entre deux données; l'équation sera a'^ =:^ b'-d. Descartes a pensé 

 qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du ii" ou 12'' degré. 



