118 ŒUVRES DE FERMAT. [128,129] 



J'ai enseigné, en général, dans la seconde Partie de cette Disserta- 

 tion, que toutes les équations de ce degré peuvent être résolues par 

 des courbes du 7'' degré. Mais une recherche plus attentive donne 

 immédiatement une solution élégante par des courbes du 5''; on peut 

 même l'obtenir par des courbes du 4". comme on le verra ensuite. 



Kgalons d'abord chacun des deux membres au terme a*e'' d. Dans la 

 première équation, avec «'\ divisant de part et d'autre par a*, il vient 

 a?^ze''d, courbe du j" degré. Dans la seconde équation, avec />'-'r/, 

 divisant par d et extrayant la racine quatrième ou biquadratique, 

 on a a'-e = h\ courbe du 3*^ degré. Le problème proposé est ainsi 

 résolu par deux courbes, l'une tlu ")", l'autre du 3" degré. 



Mais on peut résoudre ce probli^me encore plus facilement, c'est- 

 à-dire par des courbes du 4*" degré. Si, en effet, on égale les deux 

 membres à a'e^d, on aura d'un côté, en divisant par a\ a^ = e'd, 

 équation d'une courbe du 4*" degré; d'autre part, en divisant par d et 

 extrayant la racine troisième ou cubique : a^e = h\ ce qui donne 

 aussi une courbe du 4'' degré. Ainsi nous avons une construction facile 

 par deux courbes du 4" degré. 



Après ces exemples, on ne peut douter que V invention de ^o moyennes 

 proportionnelles ne puisse s'obtenir par des courbes du 7" ou même du 

 6* degré. Égalons, en effet, les deux membres de l'équation a'" = /r"'d 

 au terme commun «- W/; le problème sera ramené à des courbes du 

 7" degré. Par le terme commun a-^e^d, il le sera à des courbes du G*". 



De même, Vinvention de 72 moyennes proportionnelles se fera par des 

 courbes du if degré, et il est clair, d'après ce qui précède, que l'on 

 peut assigner un rapport plus grand que tout rapport donné entre le 

 degré du problème et celui des courbes qui le résolvent. Quand les 

 Cartésiens auront vu cela, je ne doute pas qu'ils ne reconnaissent la 

 nécessité de notre remarque et de notre correction. 



11 faut observer qu'il convient souvent de changer la forme de 

 l'équation pour que le degré soit susceptible d'une division commode 

 en parties aliquotes. Il sera inutile de répéter cette remarque. 



Qu'on [iropose, par exemple, Vinvention de 10 moyennes, c'est-ii-dire 



