[129,130] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 119 



l'équation a" = b^"d, on multipliera les deux termes par une droite 

 donnée, - par exemple; l'équation deviendra a" z = //"dz, et l'on 

 arrive ainsi au nombre 12, qui permet facilement une réduction ou 

 abaissement par ses parties aliquotes. En égalant chacun des deux 

 membres à a^e\ on aura d'un côté l'équation a^z=:e'', courbe du 

 quatrième degré. De l'autre côté, en extrayant la racine bicarrée, soit 

 celle-ci n'" par le terme donné b"'dz, on a a'-e —n", courbe du troi- 

 sième degré. Ainsi on trouvera dix moyennes par deux courbes, l'une 

 du 4*. l'autre du 3^ degré, ce à quoi on est arrivé facilement par un 

 petit changement de l'équation primitive. 



Je ne m'arrête pas aux autres abréviations que l'art fournira de lui- 

 même aux analystes et qui sont en nombre infini. J'ajoute toutefois 

 que ce que je viens de dire s'applique non seulement quand la puis- 

 sance inconnue se trouve sans aucun autre terme affecté d'un desrré 

 moins élevé, mais encore s'il y a des termes de degrés voisins du plus 

 élevé, comme dans l'équation a'^ ~h ria"' -\- ma" -\- ra'" = h'-d. 



La solution de cette question, en prenant le même terme commun 

 que ci-dessus, a'-'e^a, sera aussi facile que celle de l'invention de 

 12 moyennes entre deux données. Le même artifice s'emploierait de 

 même pour les équations d'autres degrés plus élevés. 



Cependant il faut remarquer que, dans les équations oîi se trouve 

 seulement un terme inconnu dans un des membres, il faut que l'ex- 

 posant de la puissance unique de l'inconnue soit un nombre premier, 

 pour que l'on désigne par cet exposant le degré du problème. Si, en 

 effet, l'exposant est composé, le problème se ramène immédiatement 

 au degré des diviseurs. 



Si l'on demande, par exemple, 8 moyennes proportionnelles entre 

 deux données, on aura l'équation a' — h^d. Dans ce cas, le nombre 9 

 étant composé et ayant deux fois 3 comme facteur, le problème doit 

 être regardé comme du troisième degré, et il l'est de fait. Si, en effet, 

 on trouve deux moyennes proportionnelles entre les deux données, 

 si ensuite on intercale de nouveau deux moyennes proportionnelles 

 entre le premier et le second terme de la progression ainsi formée. 



