[174,175] MAXIMA ET MIMMA. 153 



les lignes quelconques MNH, MRH, brisées sur le diamètre aux points 



N et H. 



La vitesse du mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande, 



d'après l'axiome ou le postulat, que la vitesse du même mobile surNH, 



et les mouvements étant supposés uniformes dans chacun des deux 



milieux, le rapport du temps du mouvement sur ]\IN au temps du 



mouvement sur NH sera, comme on sait, le produit du rapport de MN 



à NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur JMN. Soit donc 



. vitesse sur MN MN lemns sur MN IN 



pose -v; jr=^ = -^— , on aura — ^rrn = :irTT,- 



' vitesse sur NH NI temps sur NH NH 



On prouvera de même que si le rapport de la vitesse dans le milieu 



„„„ . 1 -, j I i- I .MR tempssurMR PK 



rare a la vitesse dans le milieu dense est htt' on aura ' rnr = rm- 



HP temps sur lui KH 



p.. , I , temps sur MNH IN + NH 



I) ou il suil que , ^^^jû = rni ^nr- 



' lemps sur MKH PR + tiH 



Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumière du point M vers le 

 point H, nous devons chercher un point, soitN, par lequel la lumière, 

 en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus 

 court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui 

 mène le plus vite possible ses opérations, visera d'elle-même ce 

 point-là. Si donc la somme IN 4- NH, qui mesure le temps du mouve- 

 ment sur la ligne brisée MNH, est une quantité minima, nous aurons 

 atteint notre but. 



L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme 

 nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géomé- 

 trique et sans aucune ambiguïté. Voici en effet cet énoncé : 



Si du point M on mène le rayon MN, que du mèmepointMon abaisse 



la perpendiculaire MD, puis que l'on prenne ^ .- dans le rapport de la 



plus grande vitesse à la moindre, qu'enfin on élève en S la perpendi- 

 culaire SH et que l'on mène le rayon NH, la lumière incidente au 

 point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du côté 

 de la perpendiculaire vers le point H. 



C'est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, comme 

 il résulte de la proposition suivante purement géométrique. 



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