15i ŒUVRES DE FERMAT. [175,176] 



Soit lo ocM'clo AHBM, dont ANB ost un dianiôtro et N le centre; sur 

 In circonfôrenco de ce cercle je prends un point M quelconque, je 



mène le ravon !MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire MD. 



1)N 

 Soit donné d'autre part le rapport j^. en supposant DN>NS; en S 



j'élève au diamètre la perpendiculaire SH (|ui rencontre la circonfé- 

 rence au point H; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons 



1)N MN • • t • 



^- = T-p; je dis (|ue la somme IN + NH est minima; c'est-à-dire que 



si l'on prend un autre point quelcoïKiue, H par exemple, sur le rayon 



NB, que l'on joigne MR, RH et que l'on fasse jt^ — ^^^ on aura 



PR-+-RH>IN 4-NH. 



,- ... , „ . MN RN . DN NO ,, ... 



Pour le démontrer, taisons Tprr = ^r^rr et ^r^g- == ^rrrr- Il est clair que, 



DN NO NS -.NV ' 



par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura 



NO < NR; de même, puisque NS < ND, on aura NV< NO. 



Cela posé, on a, d'après Euclide : MR- = MN- + NR- + 2DN.NR: 



MN NR 

 mais puisque, par construction, jr^ = ^j on a MN.NO = DN.NR; 



donc 2MN.NO = 2DN.NR; donc MR- = MN- + NR- -+- 2MN.NO. 

 Maiâ, puisque NR > NO, NR- > NO- ; donc 



MR-^>MN^-+-N0--h2MN.N0. 



Mais la somme MN- + NO" 4- aMN .NO = (MN + NO)-. Donc 



MR > MN + NO. 



D autre part, par construction, — ^ = -j-y- = =-^; donc 



DN _ M N + NO 



NS "~ IN-(-NV' 



AI • ■ ÏIN MR , MN-hNO MR ^ MD-^MM , Mn 



Mais on a aussi p^ = ^p ; *Jo"f^ i N + NV ^ W ^ ' 



donc aussi RP>1N + NV. 



Il reste à prouver que RH >HV; car, s'il en est ainsi, il est clair que 



PR ^ RH > IN + NH. 



