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PROPOSITIONS A LALOUVÈRE. 



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IV. 



Soit BA {/îg. II S) une domi-cycloïde dont on déduit une aulre 



courbe DA par la condition que le rapport des ordonnées ^^ ou prr 



soit constamment égal à un rapport donné. Des géomètres ont dé- 

 montré que la demi-cycloïde BA est double de la droite AC, diamètre 

 du cercle générateur de la cycloïde.On demande la relation des courbes 

 AD à d'autres lignes soit courbes, soit droites. 



Fig. ii5. 



Voici notre énoncé général : Si ces nouvelles courbes se trouvent, 

 comme sur la figure ci-dessus, entre la cycloïde et le diamètre ilu 

 cercle générateur, toutes ces courbes AD et leurs parties seront égales 

 à des arcs de parabole; si ces nouvelles courbes sont au contraire 

 extérieures à la cycloïde, comme dans la figure ci-après (Jig- iiO), 

 toutes ces courbes AD et leurs parties auront un rapport donné à la 

 somme d'une droite et d'un arc de cercle. 



Sur la première figure {Jig- 1 15), le théorème général peut être for- 

 mulé comme il suit. Construisez AM pour la condition — jTKT^^ — = -TT»-; 



' (J)- AW 



prenez A comme sommet d'une parabole ayant AM pour paramètre et 

 AC pour axe; soit G le point de rencontre de cette parabole et du pro- 

 longement de la droite BDC, H le point de rencontre avec le prolonge- 

 ment de la droite FEO. Le rapport de la courbe parabolique AG à la 



courbe AD sera donné; on aura en effet )-^, = . .,_ ..^ ^^ et le rapport 

 des arcs AH et AE sera le même. 



Si l'on fait tourner les figures : ACG autour de l'ordonnée (^G, AD(^ 

 autour de la droite DC, le rapport des surfaces courbes engendrées 

 sera égal au rapport des courbes AG et AD. Il en sera de même pour 



