[Ml, 2ÎÎ] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 189 



Nous prouverons de même que l'on aura, entre les tangentes et les 



, , , , YT GO XS FP ,, ER EQ 



ordonnées, les rapports : gh = ÏÎL' FG = KL' '^"^•" EF = Kl' 



ZV HN 

 Mais, puisque uî = îti-' ei égalant le produit des extrêmes à celui 



des moyens, on a NH.HI = KL.ZV. De même, OG.GH = KL.YT, et 

 PF.FG = KL.XS, enfin EQ.EF = KL.ER. 



Mais pourquoi s'arrêter plus longtemps sur une question aussi 

 facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d'Ar- 

 chimède? En inscrivant et en circonscrivant les figures au segment 

 parabolique, la somme de tous les rectangles QE.EF, PF.FG, OG.GH, 

 NH.HI, représentera le segment parabolique EQMI; la somme des tan- 

 gentes ER, XS, YT, ZV, en redoublant la circonscription, conformé- 

 ment aux règles de notre méthode, représentera la courbe même 

 EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL 

 par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en 

 rectilignes, puisque Archimède a carré la parabole et par consé- 

 quent ses segments. Donc le produit KL x EXA est donné; mais KL 

 est donné, donc la courbe EXA, et l'on peut trouver une droite qui lui 

 soit égale. ■ c. o. f. d. 



Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne 

 refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces 

 d'Archiméde; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront 

 lire et examiner le raisonnement qui suit : 



11 faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA. 

 Posons, d'après Archimède, EQMI = KL x p. KL et [3 sont donnés. 



Si nous prouvons que p -= EXA, notre proposition sera établie. 



Je dis donc que j3 =^ EXA. Si en effet elle n'est point égale à cette 



courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d'abord j3 > EXÀ 

 et soit, dans cette hypothèse, o leur différence. 



D'après la proposition II, nous pouvons circonscrire à la courbe EXA 

 une figure composée de segments de tangentes et qui soit supérieure 

 à la courbe d'un intervalle moindre que o. Supposons cette circon- 



