192 ŒUVRES PE FERMAT. [2^1. 2251 



graïul qiio lo segment parabolique EQ.Mf. Mais, d'après ce qui a été 

 démontré, le produit de KL par la circonscrite est égal à 



PF X FE -t- OG X (.F 4- NH x IIG -f- MI x III. 



Kn eflet. -„!?■ = cT' •l""^' ^^^ -< XR — PF x FE, et ainsi de suite 

 pour les autres. 



Puisque le produit de KL par la circonscrite est plus grand que le 

 segment parabolique EQMI, la somme des rectangles 



PF . FE + OG . GF + NH . GH + MI . III 



est supérieure à ce segment parabolique. Mais si on mène les perpen- 

 diculaires (parallèles h la base) Py. OO, N\, Mcj/, qui rencontrent les 

 ordonnées à l'intérieur de la parabole (car les ordonnées croissent à 

 mesure qu'elles s'éloignent du sommet), les rectangles ainsi construits 

 PE, OF, NG, MH seront respectivement égaux aux précédents. Donc 

 la somme PE -i- OF + NG -!- MH sera supérieure au segment parabo- 

 lique. Ce qui est absurde, car ces rectangles PE, OF, NG, MH compo- 

 sent une figure inscrite dans le segment parabolique et par conséquent 

 plus petite. 



Donc fl n'est pas inférieure à la courbe EXA. Ne lui étant ainsi ni 

 supérieure, ni inférieure, elle lui est égale. C'est ce que nous avons 

 voulu démontrer longuement pour écarter tout scrupule. 



De ce qui a été démontré, ressort que l'on peut établir avec la même 

 facilité l'égalité entre un segment parabolique quelconque EQPF, re- 

 tranché du premier, et le produit de la donnée KL par la courbe EX. 

 Si donc on donne sur la base un point quelconque F, comme, d'après 

 Archimède, le segment parabolique EQPF est donné en rectilignes, le 

 produit KL x EX est donné ; mais KL est donné, donc l'arc EX. Par 

 conséquent, si l'on donne sur la base un point quelconque F, il est 

 clair que l'arc de courbe correspondant est donné et qu'on peut assi- 

 gner une droite qui lui soit égale. 



Il s'y a pas à objecter que, pour trouver une droite égale à la 

 courbe EXA, il semble falloir construire une parabole simple, ce qui 



