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paramètre; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, I, 

 j'élève des perpendiculaires h la base qui rencontrent cette parabole 

 aux points Q, P, 0, N, M. 



D'après le corollaire de la proposition précédente, comme EXO est 

 la seconde courbe dérivée de la première, c'est-à-dire formée par le 

 |)rocédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l'on y prend 

 un point quelconque Y, et que l'on mène le segment de tangente YT, 



YT- KG 

 on a js,.^ = |,j-- Mais, en multipliant de part et d'autre par KL, 



^ = ■,. , — j et, d'après la nature de la parabole simple, 

 (jrK X KL = LrO-. Donc rrjn = r^. et ts-tt = j^y > ou, en égalant le pro- 

 duit des extrêmes à celui des moyens, GO x GH = KL x YT. 



Si l'on mène les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les per- 

 pendiculaires en R, S, V, on prouvera de même que 



QExEF = KLxER, PFxFG: KLxXS; 



et ainsi de suite indéfiniment. 



D'où, en ramenant à la métbode d'Archimède par le même procédé 

 que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique 

 EQMI est égal au produit de KL par l'arc EXO de la seconde courbe. 

 De même pour les autres segments paraboliques : par exemple, 



segm. EQPF = KL x ÉX; segm. EQOG = KL x EXY; et ainsi de suite 

 indéfiniment. 



Or tous ces segments paraboliques sont donnés en rectilignes par 

 la quadrature de la parabole qu'Archimède a démontrée; KL est éga- 

 lement donné. On a donc également comme données tant la seconde 

 courbe totale EXO que les arcs EX, EY, etc., interceptés sur elle par 

 les perpendiculaires élevées aux points F, G, etc. 



Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construc- 

 tion sera la même, sauf que l'on prendra IK — 3AB; pour la quatrième 

 courbe, IK = 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à 

 dériver indéfiniment de la première, cette relation : que deux quel- 



