[239,240] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 205 



et ainsi pour les autres), je dis que les deux courbes AlF, 3Z8 sont 

 égales, ou plutôt semblables et identiques, les ordonnées d'une figure 

 étant égales à celles de l'autre également distantes du sommet. 



Menons en effet sur la première figure, parles points H, I, M, les 

 segments de tangentes HO, IN, MR, rencontrant les ordonnées aux 

 points 0, N, R; sur la seconde figure, les segments de tangentes gV, 



ZY, TX, rencontrant les ordonnées aux points V, Y, X. On suppose 



FF S"7 



=ri7 = — • Mais les andes en E, 7 sont droits; donc les triangles FEK, 



EK 72 ° ' " 



872, semblables; donc ï^ = — • Mais, si l'on prolonge les ordoii- 

 nées, DH jusqu en G, bg jusqu en "> ï^ = îyp' ^t ~ = ^î donc 



FP 8 P 



ryf =" Y~' ^^'^ DE = 67, puisque EA = 73, et DA=.63; donc 

 FG = 8P. 



On prouvera de même pour les autres segments de tangentes que : 

 HO = ç)Y, IN = ZY, MR = TX. 



Donc la série des tangentes de la première figure est égale à la 

 série des tangentes de la seconde, d'où, par la méthode d'Archimède 

 de réduction à l'impossible, on conclura facilement l'égalité des 

 courbes AIF et 3Z8, premier point à établir, ainsi que l'égalité des 

 arcs correspondants : FH = 89, HI = 9Z, etc. 



Reste à prouver que les ordonnées de l'une des figures sont égales 

 à celles de l'autre. 



D'après la supposition faite, les ordonnées sont, de part et d'autre, 

 dans le même rapport avec les sous-tangentes; donc les angles GFIi;, 

 P87, formés par les tangentes et les ordonnées, sont égaux. De même 



OHD = V96, NIC = YZ), RMB = XT i D'ailleurs, tous les arcs de la 

 première courbe, FH, HI, IM, MA sont respectivement égaux aux arcs 

 de la seconde, 89, 9Z, ZI, T3, et l'inclinaison de ces arcs est constam- 

 ment la même de part et d'autre (car l'inclinaison des courbes est 

 mesurée par celle des tangentes qui font toujours, comme nous 

 l'avons prouvé, des angles égaux dans les deux figures). Donc les 

 courbes AMIFH, 3TZ98 sont non seulement égales entre elles, mais 



