[250,25?] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 213 



ment. Nous avons prouve que p^^^ ou ^-j = ^ Prenant la 



moitié des antécédents, comme nous avons supposé Oo^ = :^XS^, 

 ^-^ = = — P^ Nous prouverons de même, pour une autre ordonnée 



quelconque -irv, -^ = ï^tf; > etc. 



Il faut maintenant examiner si la courbe (j^iag jouit de la même 

 propriété. Voici comment on y arrivera. 



Dans la courbe '/.np. dont la demi-base 7,8 = BCv^^, et l'axe 



89 = AB, d'après le lemme précédent, si l'on mène les tangentes y^p, 



, -, I (8yY UV , {ypY- lAV+CB 

 4/(7 aux points y, •]> : ^, = ^; componendo, ^, = ^-^ 



De même, si l'on suppose la droite 910 = AZ, c'est-à-dire si les 

 points 10 et Z sont à égale distance du sommet, le rapport du carré de 



la tangente en 11 au carre de la sous-tangente sera -- — == Mais 



/ irr\ (yP)' (i'^)' t 1 „• tang^ll 12 10 



(prop.VI) : -^=^ = rJ-T»' et de même - ^ — 



sous-tang 12 

 Mais, sur l'autre figure (y?g. i4o), nous avons prouvé que 



ea^ lAv + BC , I I j Kl fi ^8 9â 



-=n = ^^ — TTH ; donc, dans les deux courbes U' '20, OuK, J— z= — . 



oy Ld ' ^ ' h V oy 



La même relation aura lieu pour tous les autres points; on prouvera 

 de même, par exemple, que = — > etc. 



^ r T sous-tangi2 V7 



Donc (Appendice, prop. I) les courbes gi^^, Gtt^ ayant mêm'e axe 

 et leurs ordonnées étant aux sous-tangentes constamment dans le 

 même rapport que leurs correspondantes de l'une à l'autre courbe, 

 ces courbes seront égales entre elles ainsi que leurs demi-bases et les 

 ordonnées à égale distance des sommets. 



Mais, par construction, la demi-base '\iS = y^iig; donc 5(^119 = 6S. 



Mais 6S = §Xv'5; donc la courbe parabolique y 119 ^ SX y/^. Mais 

 Sx — BE et, dans la construction des courbes dérivées de la pre- 

 mière AC, on suppose BE = AD. 



