[25r,] MÉTHODE DE QUADRATURE. 217 



sion est au plus petit des deux comme le plus grand de tous les termes de 

 la progression est à la somme de tous les autres Jusqu'à l'infini ( ' ). 



Cela posé, soit d'abord proposée la quadrature des hyperboles : 

 Je définis hyperboles des courbes d'espèces variant à l'infini, qui, 

 comme DSEF (fig- 142), ont cette propriété que, si l'on suppose, sous 



Fig. 142. 



un angle donné quelconque RAC, les asymptotes RA, AC que l'on 

 peut prolonger indéfiniment comme la courbe elle-même, et que 

 si l'on mène parallèlement à l'une des asymptotes et comme on le 

 voudra les droites GE, HI, ON, MP, RS, etc., on aura toujours le 

 même rapport entre une puissance déterminée de AH et la même puis- 

 sance de AG d'une part, et une puissance de GE (semblable ou diffé- 

 renli^ par rapport ii la précédente) et la même puissance de HI, 

 d'autre part. J'entends par puissances, non seulement les carrés, 

 cubes, bicarrés, etc., dont les exposants sont 2, 3, 4, etc., mais aussi 

 les racines simples dont l'exposant est r. 



Je dis que toutes ces hyperboles à l'infini, sauf une seule, celle d' Apol- 

 lonius ou la première, peuvent être carrées au moyen d'une progression 

 géométrique par une méthode uniforme et constante. 



Soit par exemple l'hyperbole dont la propriété est définie par l'éga- 



(') Soil S la somme des termes d'une progression géométrique décroissant indéfini- 



u 



ment dont le plus grand terme est a. et la raison q — -; comme q 



a 



V 



énonce la relation 



II 



-; d'où l'on tire immédiatemcnl S — «- 



Feumat. 



ni. 



II. Fermât 

 V a 



— u I 



28 



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