[258,259] MÉTHODE DE QUADRATURE. 219 



, . HI X HO AO 



On prouvera de mémo que q^^ ^ ^^^^ = jj^- 



Mais les droites AO, HA, GA qui constituent les rapports des paral- 

 lélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique; 

 donc les parallélogrammes en nombre indéfini GE x GH, HI x HO, 



ON X NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont 



H \ 



la raison sera t-t- Par suite, selon le théorème constitutif de notre 



A(r 



méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus 

 petit terme GA, comme le premier terme de la progression des paral- 

 lélogrammes, c'est-à-dire comme le parallélogramme EG x GH, à la 

 somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou 

 autrement, suivant Vadéquation d'Archimède, à la figure limitée par 

 HI, par l'asymptote HR et la courbe IND prolongée indéfiniment. 



Mais, si l'on multiplie les deux termes par G\\, ^ = „„ ., ; 



donc GE X GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme 

 GE X GH est à GE x GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est 

 une aire rectiligne donnée, est adégal \\ la figure précitée; si l'on 

 ajoute de part et d'autre le parallélogramme GE x GH, qui, par suite 

 des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira à 

 rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une 

 démonstration plus prolixe, menée à la façon d'Archimède : que dans 

 ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure 

 comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ED indéfini- 

 ment prolongée. 



Il est facile d'étendre cette invention à toutes les hyperboles définies 

 ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en 



ce. . u I I . •'.• GE HA^i , 



eiiet une autre hyperbole ayant pour propriété que tît = 7^' etc. 



pour les autres ordonnées. 



Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes en pro- 

 gression; on démontrera de même que les parallélogrammes EH, 10, 

 MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans ce 

 cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au 



