[273,274] MÉTHODE DE, QUADRATURE. 229 



qui précède, la somme des e'-, ordonnés sur la droite b, est égale à la 

 somme des produits HG.GB, doublés et ordonnés sur la droite HN 

 ou d; mais la somme des e-, ordonnés sur b, est égale, comme on l'a 

 prouvé plus haut, à un rectiligne donné; donc la somme des produits 

 HG.GB, doublés et ordonnés sur la base d, forme une aire rectiligne 

 donnée; si l'on prend la moitié, la somme des produits HG.GB, ordon- 

 née sur la base d, formera de même une aire rectiligne donnée. 



Pour passer facilement, et sans embarras de radicaux, de la pre- 

 mière courbe à la nouvelle, nous devons employer un artifice qui est 

 toujours le même, et dans lequel consiste notre méthode. 



Soit HE.ED un quelconque dos produits à ordonner sur la base; 

 comme nous appelons analytiquement e l'ordonnée FD ou sa paral- 

 lèle HE, a la coordonnée FH ou sa parallèle DE, nous appellerons ea le 

 produit HE.ED. Égalons ce produit ea, formé de deux droites incon- 

 nues et indéterminées, à bu, c'est-à-dire au produit de la donnée b 

 par une inconnue u, et supposons que u soit égale à EP prise sur la 



même droite que DE; nous aurons — = a. Mais, d'après la propriété 



spécifique de la première courbe : b- — a- = e^ ; substituant à a sa 



nouvelle valeur — , il viendra b'^ e- — b- u^ ^= e* ou, en transposant, 



//-e- — e' = />^«'-, équation constitutive de la nouvelle courbe HOPN, 

 dérivée de la première, et pour laquelle il est prouvé que la somme 

 des bu ordonnés sur b est donnée. Divisant par b la somme des u or- 

 donnés sur la base, c'est-à-dire la surface HOPN, sera donnée en rec- 

 lignes, on aura donc sa quadrature. 



Soit, comme second exemple, ba- — a'' = e'' l'équation constitutive 

 de la première courbe. La somme des e^ ordonnés sur le diamètre b 

 ost donnée, donc la somme des produits HE-.ED ordonnés sur la base. 

 Mais HE-.ED est en expression analytique e-a; égalons ce produit à 



b-u, et supposons, comme ci-dessus, EP = ;/. On aura — ^ =a; si 



donc, au lieu de a, on substitue sa valeur — 5-, et qu'on suive les 



règles de l'analyse, on aura b'' u'- e- — e^ = b° u'^ , équation constitutive de 



