[281,283] MÉTHODE DE QUADRATURE. 235 



Par la même méthode j'ai carré la courbe de Dioclès ou plutôt j'ai 

 ramené sa quadrature à celle du cercle. 



Mais le redoublement des opérations est surtout élégant lorsque 

 l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus 

 basses, ou au contraire des plus basses aux plus hautes; cette méthode 

 s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans 

 une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres pro- 

 blèmes de quadratures. 



Soit proposée, par exemple, la courbe dont l'équation est 



b- — a-^ e-, 



et qu'on voit immédiatement être un cercle. On demande la somme 

 des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des e'. 



Si la somme des e' est donnée, on peut, par les méthodes précé- 

 dentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe 

 une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soit 



posé, d'après la méthode, — ^ = a. Substituant à a sa nouvelle valeur, 

 il vient b-e'* — e" = h''o- , équation d'une courbe où, dans l'hypothèse 

 que la somme des e'' de la première courbe est donnée, la somme des o 

 sera donnée. 



Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on 

 peut en dériver une troisième où l'on cherche la somme des carrés des 

 ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe. 

 D'après notre méthode pour les carrés, nous poserons, comme on l'a 



vu, -j- = o; d'où h'-e* — e" = h'-e-ir. Divisant tout par é-, il viendra 



()'-e- — e'' = b'-ir, courbe où la somme des e'- doit être donnée. Partant 

 de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordon- 

 nées; posons par exemple e'-=èy; la dernière équation deviendra 

 hy — v''= ir- Si donc, dans la précédente, la somme des é- est donnée, 

 dans celle-ci on aura celle des by, donc celle des j. 



Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la 

 somme des j est donnée, en supposant toutefois la quadrature du 



