[290, M7] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2'>5 



j'ai ici de nombres distincts, à savoir doux, et je multiplie entre eux 

 ces facteurs premiers en les affectant des exposants i et 2; pourvu que 

 ces facteurs premiers soient de la forme ^n-\- i, j'aurai ainsi (en mul- 

 tipliant l'un par le carré de l'autre) un nombre satisfaisant à la (|U('s- 

 tion proposée. 



Il est dès lors facile de trouver le nombre minimum qui soit liypo- 

 ténuse d'autant de façons que l'on voudra. 



Tromer un nombre qui soit somme de deux carrés d'autant de façons 

 que l'on voudra. 



Soit proposé de 10 façons; je prends tous les facteurs premiers du 

 double 20 : j'ai 2.2.5. De cbacun de ces nombres je retranche l'unité; 

 il vient i.i.'i. J'aurai en conséquence à prendre trois nombres pre- 

 miers de la forme f\n-\-i, par exemple, les nombres 5, i3, 17; ii 

 cause de l'exposant 4, je prendrai la quatrième puissance de l'un de 

 ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le 

 nombre cherché. 



Il est d'après cela facile de trouver le nombre minimum qui soit 

 somme de deux carrés d'autant de façons qu'on le voudra. 



Pour reconnaître de combien de façons différentes un nombre donné 

 est somme de deux carrés, voici la méthode. 



Soit proposé le nombre 32). Ses diviseurs premiers, de la forme 

 t\n -+- I, sont : 5 par son carré, i3 simplement. Je prends les expo- 

 sants : 2. I. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute 

 l'unité, ce qui fait 6; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera 

 somme de deux carrés de trois façons différentes. 



Si l'on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on 

 opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur 

 somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j'ajoute la 

 somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l'unité, ce qui fait 

 18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux 

 carrés de /le;//" façons différentes. 



Si le dernier nombre dont on aurait à prendre la moitié se trouvait 



