[301,302] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 2W 



seconde a x -h —, et l'on obtiendra ainsi des nombres positifs satis- 

 faisant au problème. v 



12. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 12. 



J|^3 y3 



« BvciiET : Résoudre ■ — = n, en supposant a des formes p- ou 3/j-. » 



La condition n'est pas légitime, parce qu'elle n'est pas générale. II 

 faut ajouter « ou que le nombre exprimant le rapport soit multiple 

 d'un carré par un nombre premier de la forme 3/n- i (comme 7, 

 i3, 19, 37, etc.), ou par un produit de nombres premiers de celte 

 forme (comme sont les produits 21, 91, etc.) ». La démonstration ol 

 la solution du problème dépendent de ma méthode. 



i;i. — Diophaiy.e, IV, 17. 



» Késoudrc : xj -h j^a + -2^3 = D , .r f + .r^ = □ . .r^ _,. .j-^ = q ^ ^2 ^ ^^ _ q _ „ 



O problème peut, peut-être, se résoudre plus élégamment comme 

 suit : 



Posons Xf= jc, X2= 2x -h u en sorte que x^-h x., = n- Pour x^, 

 choisissons arbitrairement le coefficient de x et le terme constant, de 

 façon que o'^ + .r., = a; par exemple soit .r^ = ^x -+- 3. 



On a ainsi satisfait à deux conditions; il faut encore que l'on ait 



x, + x-, 4-^-3= G el j?5 + j?i = n- 



Mais 



jr, -4- ^2 + a;3^7 j? + 4, ^1 + Xi^iôx^ + 25x -h g. 



On a donc une double équation où les termes constants sont carrés, 

 dont la solution est facile par suite, en ramenant ces termes ii èli'c 

 égaux à un même carré. 



Par le même procédé, on peut étendre le problème à 4 nombres 

 et même à autant que l'on voudra; il suffit de faire en sorte que la 



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