[303,305] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 251 



16. — Diophante, IV, 21. 



« Résoudre : ■ri.v.2-{-\= 13 , ^t^3-i-'= ÏD ■ ■i^i-ri,-h\—0 , .'"2-''3 +i= D , .r2.r4+i= D , 

 .r3.r4+i = □ . » 



Cherchez d'abord trois nombres tels que le produit de deux quel- 

 conques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré; soient, par 

 exemple, les nombres 3, i, 8. 



Cherchez maintenant un quatrième nombre tel que son produit 

 par chacun des trois nombres déjà trouvés fasse un carré après addi- 

 licHi de l'unité. Soit x ce nombre ; on aura 



triple équation dont la solution s'obtiendra par la méthode que j'ai 

 inventée. Voir ma Note sur le problème VI, 24. 



17. — Diophante, IV, 23. 



« Résoudre : .ri .rj .13 -1- .ri = D ■ -ri .r-i-ri + J'; = D , -ri ■'•■,.1-3 -H .rj = D • » 



Ce problème peut se résoudre non seulement sans le lemme de Dio- 

 phante, mais même sans double équation. 

 Posons 



nous satisferons à deux des conditions du problème. 



Pour obtenir x.^, il faut maintenant diviser XtX.,X3, c'est-à-dire 

 r- — IX, par x^x.,, c'est-à-dire 2x; il viendra a?3 = ^a; — i, et, en 

 l'ajoutant AXtX.,x.j, nous aurons 



, 3 



ar^ X — I ^ □ . 



2 



Il faut d'ailleurs que la valeur de x dépasse 2, en raison des posi- 

 tions déjii faites; on formera donc la racine du carré D, en retranchant 



