[30G,308] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 253 



20. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, Ai. 



Résoudre : {xi-h Xi-h .r3).ri= — '; {j:i-i- x.2-h j:3).r.,= P'- ; (.rj-l- To-l- .r3).r3= y': 



avec la condilion que a soit entier, .vi, .r^, x^, p, •( pouvant être simplement rationels. 

 Si l'on pose .r, ■+- x-i-h xj = x- et p = x^ — z^, on arrive à la condition 



°^^^-— -!-^ =2 32.r2— y' — ;'; d'où (2a + i)2=if,;^r"— Sy^— 8;i+i. 



On résoudra en égalant cette dernière expression à (izj-~ 3)2; mais a ne peut guère 

 être obtenu entier qu'en prenant o = i. •> 



Bachet n'a pas fait des essais suffisamment rigoureux. Prenons en 

 effet [pour y'] un cube arbitraire dont la racine soit de la lornic 

 3 /? 4- I . 



Nous aurons, par exemple, à égaler 2x- — 344 î» un triangle '^^ — - 

 etiGa;-— 2701 à un carré [(2a + 1)'"] ; or on peut, si l'on veut, pi-rnilrc 

 pour racine de ce carré ^x — 3, etc. 



Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre 

 au lieu de 3 un autre nombre impair tout h fait quelconque, sauf à 

 choisir le cube en conséquence. 



21. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 45. 



« Diophante enseigne dans ce pioblème à traiter la double équation 

 rt.2;-l-i = G, 0|.r-f- /;, = G , 



pour le cas où a et «1 sont différents et où d'ailleurs le rapport de a a ai n'est pas un 

 carré, mais en supposant que h ot b^ soient des carrés inégaux; Bachet montre que la 

 solution est également possible, b et bi étant quelconques : 1° si, en supposant a > «,, 

 le rapport de ab^ — bii à a — a^ est carré; i" si, avec la même hypothèse rt>(7i. lo 

 rapport de a^li — bya à «, est carré. » 



Mais que l'on propose, par exemple, la double équation 



on pourra prendre les carrés iG = 20; + 5, 3G = Ga; + 3; et il v en a 

 une infinité qui satisfont de même à la question. Il n'est pas d'ailleurs 



