[300,311] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 253 



à ce que cette question soit possible; elle est donc à examiner plus 

 profondément. 



J'ai résolu le problème; bien plus, pour un triangle donné quel- 

 conque, j'en fournis une infinité ayant la même aire. Soit, par 

 exemple, G l'aire du triangle 3.4-5, en voici un autre de même 



aire : —•- — •— — > ou, si l'on veut le même dénominateur : 



10 7 70 



49 1200 1201 



70 70 70 



Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéfini- 

 ment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse z, de base h, de 

 hauteur ri. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de 

 même aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres :;- et 

 ■ibd, sauf à diviser par izlr — izd- les expressions du quatrième 

 degré qui représentent les côtés. Le triangle ainsi obtenu aura tou- 

 jours une aire égale à celle du triangle dont il dérive. 



Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la même 

 méthode, un troisième; de ce troisième un quatrième; du quatrième 

 un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dis- 

 semblables et de même aire. 



Pour que l'on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus 



de trois, à ceux de Diophante : 40.42.08, 24.70.74» i5.ii2.ii3, 



j'en ajoute un quatrième dissemblable et de même aire : hypoté- 



1412881 , 1412880 , , 1681 

 nuse 3 — ; base 3 — : hauteur — r^- 



1189 II 89 1189 



Si l'on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura, 

 en entiers, les quatre triangles suivants de même aire : 



10 47560, 49 938, 68962; 



2° 28 536, 83 23o, 87986; 



3° 17835, i33 168, 134357; 



4° ' 1681, 1 412880, I 412881. , 



On pourra en trouver une infinité de même aire en poursuivant 

 l'application du procédé, et dès lors étendre le problème suivant de 

 Diophante au delà des bornes où il l'a restreint. 



