[314,315] OBSERVATIONS SUK DIOPHANTE. 257 



de son double et de l'unité, après division par le plus grand carré qui 

 y entre comme facteur, ne puisse pas être divisée par un nombre pre- 

 mier qui soit inférieur d'une unité à un multiple de 4- 



-2'. — Commentaire de Bachet sur Diophante, V, 14 



« Sur les conditions imposées au choix du nombre donné « pour la possibililé du pro- 

 blème : 



•r -(- j 4-3 = 1, « -t- .r = a , « -i-r = D : fi -h z = C . y> 



La condition posée par Bachet n'est, elle-même, pas satisfaisante; 



bien plus, il n'a pas fait ses essais avec assez de soin, car sa règle 



n'exclut pas le nombre 3-], qui ne peut cependant être pris. 

 Voici comment on doit concevoir la véritable condition : 

 Prenons deux progressions géométriques suivant la raison 4' ft 



dont les premiers termes soient i et 8; supcrposons-en les termes 



comme suit : 



I, 4, it>. *J^> ^•■'j'j) 1024, 4096, clC, 

 8, ?,2, 12S, 5i3, 2048, 8192, 32768, elc. 



.le considère d'abord le premier ternie de la seconde progression, 8 ; 

 il f'aul (|ue le nombre donné ne soit ni le double de i (terme super- 

 posé il 8), ni égal à la somme d'un multiple de 8 et du double de i. 



Je considère en second lieu le second terme de la seconde progres- 

 sion, 3-2, et je prends le double du terme 4 superposé; j'ajoute à (■<• 

 double, 8, la somme des termes qui précèdent dans la même progres- 

 sion, celle du dessus (dans ce cas, cette somme se réduit à l'unilé); 

 j'ai ainsi 9. 



Prenant donc les nombres 32 et ;), je dis que le nombre donné ne 

 doit être ni 9, ni la somme de 9 et d'un multiple de 3^.. 



Je considère maintenant le troisième terme de la seconde progres- 

 sion, 128; je j)rends le double, 32, du nombre 16 superposé; j'ajoute 

 la somme des termes antécédents dans la même progression du haut, 

 c'est-ii-dire i et 4; j'ai 37. Prenant donc les deux nombres 128 et 37, 

 je dis que le nombre donné ne doit être ni 37, ni la somme de 37 et 

 d'un multiple de 128. 



Kkiimat. — Ul. oi 



