•238 ŒUVRES DE FERMAT. [315.317] 



Je considère encore le quatrième terme de la seconde progression; 

 le même procédé me donne les nombres 5i2 et 149. Il faudra donc 

 que le nombre donné ne soit ni 149, ni la somme de 149 et d'un mul- 

 tiple de 5i2. 



Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre in- 

 définiment, et qui n'a pas été indiquée par Diophante dans sa généra- 

 lité, ni reconnue par Bachet lui-même; les essais de ce dernier ont 

 même été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai 

 déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent égale- 

 ment dans les limites des essais qu'il déclare avoir faits [jus- 

 qu'à 325]. 



28. — Diophante, V, 19. 

 K Résoudre : 



(.r,-4-r2-+-.r3)3 — .ri= a?, (Xi-h .r,-\- Xi)"— r,= n?,, (.r,+ .r^-i- .ra)» — .r3= ai}. » 



Ou bien le texte grec est corrompu, ou bien Diophante n'a pas 

 exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il 

 a été aidé par le hasard, ce que je n'admets guère, car je pense que sa 

 méthode n'est pas difficile à retrouver. 



Il s'agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3, 

 et dont la difTérence avec 3 se partage en trois cubes ('). 



Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée 

 d'un terme en ,2? et de — i, par exemple : x — i. Si je retranche de 3 

 le carré de cette expression, il reste : 2 -+- ix — x-, qu'il s'agit de 

 décomposer en une somme de trois cubes de façon que l'équation se 

 réduise à deux termes de degré consécutif. 



On peut y arriver d'une infinité de façons : soit 1 — ^j; la racine de 

 l'un des cubes; pour celle du second, prenons i+x, afin que la 



(') Si, d'après la marche de Uioplianle, on pose .ri -+- jto -i- Xs = ;, a,= — 1 a., = — . 



;«i ' in-i 



a3= — , on arrive à la condition :- ( 3 — ) =1. Diophante suppose 



'«3 \ nt\ mi inj / 



-^ H i H ; <i; le carré -- doit donc satisfaire aux conditions indiquées par 



ini ml m^ ' ;2 



l'ermat. 



