[317,319] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 259 



somme de ces deux cubes donne ix pour le terme du premier degré ; 

 la racine du troisième ne devra comprendre qu'un terme en x, qu'il 

 faudra d'ailleurs affecter du signe —, pour que la valeur de .x reste 

 dans les limites assignées; mais il ne sera pas difficile de choisir le 

 coefficient de ce terme en x de manière que la solution tombe effecti- 

 vement entre les limites en question. 



Cela fait, il est clair que notre premier cube sera plus petit que 

 l'unité, comme nous le désirons; au contraire, le second est plus 

 grand, et le troisième est affecté du signe — ; il s'ensuit qu'il faut 

 trouver deux cubes dont la somme soit égale à la différence du second 

 et du troisième; nous arrivons ainsi, comme Diophante, à sa seconde 

 opération. 



« Mais nous avons », dit-il " dans les Porismes, que la différence 

 de deux cubes quelconques est aussi la somme de deux cubes. » 



Ici Bachet est de nouveau embarrassé et, comme les Porismes de 

 Diophante lui font défaut, il soutient qu'il y a là un problème qui 

 n'est possible que sous une certaine condition ; il enseigne en effet à 

 partager en deux cubes la différence de deux cubes, mais seulemen( 

 lorsque le plus grand des cubes donnés surpasse le double du plus 

 petit, et il avoue franchement qu'il ignore comment on peut en général 

 partager en deux cubes la différence de deux cubes quelconques, .l'ai 

 exposé plus haut, à propos du problème IV, 2, la solution générale de 

 cette question et des autres relatives au même sujet. 



2il. — Diophante, V, 24. 



<i Trouver trois carrés tels (\ae h produit des trois, plus l'uu quelconque d'entre eux, 

 fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triangles rectangles tels ((uc le 

 rapport du produit des bases au i)roduit des hauteurs soit carré. » 



Voici comment je restitue et j'explique la méthode de Diophante, 

 qui n'a pas été comprise par Bachet. 



Ayant pris comme premier triangle : 3, 4- 5, pour lequel le produit 

 des côtés de l'angle droit est 12, Diophante dit : « On est ramené à 

 chercher deux triangles tels que le produit des cotés de l'angle droit 



