262 ŒUVRES DE FERMAT. [324,325] 



Soient a el h les nombres générateurs do l'un des triangles, a et d 

 cpiix (le l'autre. 



Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera 

 a/^a' -h ih^ a; 



Pour le second, le même produit sera 2(ia'-\- id^a. On demande 

 que le premier de ces produits soit double du second : par consé- 

 quent 



Divisant tous les termes par «, 



ba-+ b^—%da-^id'; 



transposant : 



nd^ — /*' zr: ba- — 2 da'^. 



Pour résoudre la question, il faut donc que le quotient de id* — b'^ 

 par b — id soit un carré. 



Il s'agit par suite de trouver deux nombres, b et d, tels que l'excès 

 du double du cube de l'un sur le cube de l'autre donne un carré, si 

 on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au même) par l'ex- 

 cès du double du second sur le premier. 



Soient j" 4- I l'un de ces nombres et i l'autre. L'excès du double 

 du cube du premier sur le cube du second est i -i- 'ox -{- Q>x- -^ a j?' ; 

 l'excès du double du second nombre sur le premier esl i — x. Le 

 produit de i -f- (3a- + 'ôx'- -i- ■ix'^ par i — .r doit être un carré. Or ce 

 produit est \-^ ^x — [^x^ — ix'', qu'on peut égaler au carré do 

 1 -H I^F — x-^'- Le reste n'offre plus de difficulté. 



Pour étendre cette méthode au cas d'un rapport quelconque, il 

 suffira de prendre, pour l'un des nombres, la somme de x et de l'excès 

 du plus grand terme du rapport sur le moindre ; pour l'autre nombre, 

 ce même excès; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport 

 do 2 à I . De cette façon en efîet le terme indépendant de x dans le 

 produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement; 

 sa solution conduira à deux nombres représentant b et d e( l'on 

 remontera ainsi au problème primitif. 



Kn revoyanl ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio- 



