[325,326] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 263 



phante, j'ai été sur le point de tout effacer parce qu'en réalité ce 

 n'est pas elle qui se ramène au problème dont j'ai exposé la solution ; 

 cependant, si je me suis trompé en réduisant une question à une 

 autre, cette dernière n'en est pas moins valablement résolue; mon 

 travail a donc été plutôt mal placé que perdu et je laisse tel quel ce 

 que j'ai écrit dans la marge. 



Quant à la question même deDiophante, je l'ai soumise à un nouvel 

 examen et en employant toutes les ressources de ma méthode, j'ai 

 enlin obtenu la solution générale; toutefois je ne vais donner qu'un 

 exemple, dont les nombres montreront suffisamment par eux-mêmes 

 que ce n'est point le hasard, mais une méthode régulière qui a permis 

 de les trouver. 



Diophante propose en fait de chercher deux triangles rectangles, 

 tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur pour le premier 

 soit au même produit pour le second dans le rapport de 5 à r. 



Voici deux triangles satisfaisant à 



Premier triangle. Second triangle. 



Ilypoléiuiscs 48 34^ fiCg 109, 4'^ 636 yîa ()38, 



Bases 3G 083779809, 41990695480. 



Hauteurs 37,472275380, 7394200038. 



31. — Diophante, V, 30. 



B Résoudre .r; -)- .rf -h a = D , j-| -+- .rj + o: = D , -'i -^ -rf -+- « = D . » 



Grâce à ce problème, nous obtenons la solution d'une question qui, 

 autrement, paraîtrait très difficile : Etant donné un nombre, en trou- 

 ver quatre tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre 

 donné, fassent des carrés. 



Soit donné le nombre i j; on commencera par chercher, d'après la 

 solution de Diophante, trois carrés tels que leurs sommes deux à deux, 

 augmentées du nombre donné, fassent des carrés. Soient 9, j^, ||| 

 ces trois carrés; on prendra, pour le premier des quatre nombres 

 cherchés : x- — 15 ; pour le second : 6a; + 9 (9 étant l'un des carrés 

 trouvés et G, coefficient de x, le double de la racine de ce carré); d'à- 



