[327,329] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 265 



34. — Diophante, VI, 3. 



« Trouver un triangle rectangle en nombres, dont l'aire, augmentée d'un nombre donné, 

 fasse un earré. » — Viète avait supposé à tort, comme le remarque Bachet, que le nombre 

 donné devait être la somme de deux carrés. Dans les proDlèmes suivants, l'aire doit être 

 diminuée ou retranchée d'un nombre donné. 



Voici sans doute l'origine de l'erreur de Viète : cet illustre savant 

 aura égalé l'aire ii la différence de deux bicarrés ('), comme x* — i. 

 pour en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, 5 étant 

 le nombre dqnné. 



Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en effet 

 trouver un carré, dont le quintuple, diminué d'une unité, fasse un 

 carré. Prenons pour racine de ce carré k quintuplera; + i (le coeffi- 

 cient de X pourrait être pris différent de l'unité); le quintuple du 

 carré sera 5x- -h jqx + 5; en ajoutant l'aire, a;' — i, on a la somme 

 x'^-\-5x^-\- iox-h/\, A égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme 

 indépendant de a; étant carré, par suite de l'hypothèse ajoutée comme 

 condition. 



l\Fais Viète n'a pas vu que le problème peut se résoudre tout aussi 

 bien en prenant pour l'aire, non pas j;' — i, mais t — r' ; car alors la 

 question se ramène immédiatement à faire que le nombre donné, 5, 

 G, ou tout autre quelconque, multiplié par un carré, fasse un autre 

 carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre très facile- 

 ment et sans exception, puisque l'unité est un carré. 



J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une 

 méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple, 

 un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un 

 (el triangle en nombres minimi : f, x- V' l'i''"*' P^t 20, et en ajou- 

 tant 5, donne le carré 2.5. 



(') C'est elTeetivemeut la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le 

 rapport des deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viète {Zetct., V, 9) 

 est présentée sous forme synthétique el correspond à une combinaison particulière : le 

 nombre donné étant supposé de la forme r'^ + s^, il prend pour nombres générateurs 



(> H- s)2 et {r — r )2 et divise les côtés du triangle par i{r -^ .t)(r — .v)^. 



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