[333,335] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 269 



42. — Diophante, VI, 19. 



'I Trouver un triangle rectangle, tel que le périmètre en soit un cube et que la somme 

 de l'aire çt de l'hypoténuse fasse un carré, 

 a ... Il faut trouver un carré qui, augmenté de 2, fasse un cube. ... 



Peut-il y avoir, en nombres entiers, un autre carré que 25 qui, aug- 

 menté de 2, fasse un cube? Cela paraît certainement au premier abord 

 difficile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstra- 

 tion rigoureuse, que aS est bien le seul carré entier qui soit inférieur 

 à un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la métbode de 

 Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres 

 entiers, qui est très belle et très subtile, n'a pas été connue jusqu'à 

 présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits. 



i3. — Commentaire de Bachet sur Diophante, VI, 24. 

 n Ce commentaire est consacré à la théorie de la double équation. » 



Là où ne suffisent pas les e'qiialions doubles ou ot7iXotT6'UY]':£ç, il iaut 

 recourir à des équations triples ou TptiiXotcroTyjTEç, découverte qui m'ap- 

 partient et qui conduit à la solution d'une foule de très beaux pro- 

 blèmes. 



Soit, par exemple, à égaler à des carrés les expressions 



a; H- 4, 2.r + 4,' 5x4-4, 



il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermé- 

 diaire d'une équation double. 



Si, en effet, on substitue à x une expression qui, augmentée de i, 

 fasse un carré, par exemple x--i-/\x, les trois expressions ci-dessus à 

 égaler à des carrés deviendront 



d^'^H- 4.Z' -I- 4, 2x--h8x -h \, 5x-+ 2o.r-f- 4- 



La première est un carré par construction; il reste donc à satisfaire 

 aux conditions 



2x-+8^ + 4 = n, 5.r2-t- 20j?-i-4 = n, 



