272 ŒUVRES DE FERMAT. [340,341] 



Si l'aire d'un triangle était un carré, il y aurait deux bicarrés dont 

 la différence serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux 

 carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Par consé- 

 (luont, on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double 

 d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés, qui ser- 

 vent à le composer, soit également un carré. Mais si un nombre carré 

 est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également 

 somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis prouver sans 

 difficulté. On conclura de là que cette racine est la somme des deux 

 côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés 

 composants formera la base, et le double de l'autre carré la hauteur. 



Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés, 

 dont la somme et la différence seront des carrés. Mais on prouvera que 

 la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux pre- 

 miers dont on a également supposé que la somme et la différence 

 soient des carrés. Donc, si on donne deux carrés dont la somme et la 

 différence soient des carrés, on donne par là même, en nombres en- 

 tiers, deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme 

 est inférieure. 



Par le même raisonnement, on aura ensuite une autre somme plus 

 petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment 

 on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satis- 

 faisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un 

 nombre entier étant donné, il ne peut y avoir une infinité de nombres 

 entiers qui soient plus petits. 



La marge est trop étroite pour recevoir la démonstration complète 

 et avec tous ses développements. 



Par le même procédé, j'ai découvert et démontré qu'il n'y a aucun 

 nombre triangulaire, sauf l'unité, qui soit un bicarré. 



