[(,5, GG] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. -287 



2. Pour rendre donc l'éprenve plus honorable, ainsi (ju'il le dit, 

 en choisissant des problèmes plus difTiciles, voici ceux que je pro- 

 pose : 



i" Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que son aire soi! 

 un carré. 



2" Etant donnée la somme de l'hypoténuse d'un triangle rectangle 

 en nombres et du produit des trois côtés, trouver les limites entre 

 lesquelles l'aire se trouvé comprise. 



Ne vous étonnez pas de l'addition d'une longueur et d'un solide; 

 car dans les problèmes numériques, comme on le sait, toutes les 

 quantités sont homogènes. 



3" Trouver deux bicarrés dont la somme soit un bicarré ou deux 

 cubes dont la somme soit un cube. 



4" Trouver trois carrés formant une progression arithmétique dont 

 la raison soit également un carré. 



3. A ces quatre problèmes, j'ajouterai deux théorèmes que j'ai 

 découverts et dont j'attendrai la démonstration de M. de Sainte- 

 Croix. Si mon attente est vaine, je donnerai cette démonstration. 

 Les deux propositions sont d'ailleurs très remarquables : 



1° Tout nombre est la somme de i, 2 ou 3 triangles; de i, 2, 3 (lu 

 '\ carrés; de i, 2, 3, 4 ou .) pentagones; de 1, 2, 3, /\, 5 ou G hexa- 

 gones; de I, 2, 3, 4. 5. 6 ou 7 heptagones; et ainsi de suite indéfini- 

 ment. 



Diophante paraît supposer la seconde partie de ce théorème et 

 Bachet s'est efforcé d'en confirmer la vérité par l'expérience, mais il 

 n'a pas donné de démonstration. Je crois avoir été le premier à décou- 

 vrir cette proposition si générale et si belle; mais je ne sais pas si je 

 puis, à titre de réciprocité, demander qu'elle soit admise. 



2° Si l'on retranche l'unité du produit par 8 d'un nombre quel- 

 conque, on a un nombre qui est seulement somme de quatre carrés, 

 non seulement en entiers, ce que d'autres peuvent avoir reconnu, 

 mais même en nombres fractionnaires, ce queje m'engage à démontrer. 



