[67,68] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 289 



Soient proposés autant de nombres que l'on voudra, par exemple 



I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, g; 



la somme de leurs cubes est égale au carré du triangle ayant le 

 nombre des termes pour coté. S'il y a 9 termes, comme dans le cas 

 proposé, le triangle est 45. et son carré, 2023, sera égal à la somme 

 des cubes. 



Cette proposition, pour ce premier cas, a été démontrée par Barhel 

 et par d'autres; les cas suirants ont été trouvés par moi. 



8. Si le premier terme est l'unité, la raison de la progression étant 

 un nombre quelconque, par exemple 4 dans la progression 



I, 5, g, i3, 17, 



je prends le triangle ayant pour côté la somme du dernier terme et 

 de la raison moins l'unité. Ce triangle est 210 et son carré 44ioo- 



De ce carré, je retranche : 



i" La somme des cubes d'autant de nombres commençant à l'unité 

 et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de 

 la progression moins 1 ; cette somme doit être, d'autre part, multipliée 

 par le nombre des termes. 



Dans l'exemple proposé, le produit à soustraire d'après cette règle 

 est 180. 



2" Le triple de la somme des carrés d'autant de nombres com- 

 mençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités 

 dans la raison moins 1 ; ce triple doit être, d'autre part, multiplié par 

 la somme des termes de la progression donnée. 



Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle 

 est 1890. 



3° Le triple de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité 

 et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins i; 

 ce triple doit, d'autre part, être multiplié par la somme des carrés des 

 termes de la progression donnée. 



Fermât. — Ml. 87 



