290 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [68,69] 



Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle 

 est 10 170. 



Ainsi la somme des nombres à retrancher de 44' 00 est 12240; le 

 reste est 3i8Go; je le divise par 4. raison de la progression, et j'ai 

 ainsi le nombre 7965 qui est la somme des cubes des nombres 1,0,9, 

 i3, 17. 



La méthode s'applique toujours de la même façon et dans tous 

 les cas. 



9. Mais je n'ai pas encore dit comment on doit calculer tant la 

 somme des nombres i, 5, 9, i3, 17 que la somme de leurs carrés, ce 

 qui est indispensable pour effectuer la seconde et la troisième opé- 

 ration. 



La règle pour le premier calcul est donnée par Bachet dans son opus- 

 cule Des nombres polygones ; quant au second, on opérera comme suit : 



Prenez la somme des carrés d'autant de nombres commençant à 

 l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la somme 

 du plus grand terme de la progression et de la raison moins i. 



Le calcul de cette somme est facile, d'après ce qu'Archimède en a 

 dit dans son livre Des spirales. 



De cette somme retranchez : 



1° La somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité 

 et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la 

 progression moins i . Vous aurez multiplié cette somme par le nombre 

 des termes; 



2° Le double de la somme d'autant de nombres commençant à l'u- 

 nité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de 

 la progression moins i. Vous aurez multiplié ce double par la somme 

 des termes de la progression donnée. 



Après ces soustractions, vous divisez le reste par la raison de la 

 progression, et vous aurez la somme des carrés des termes. 



Des règles données pour ces deux cas vous pourrez immédiatement 

 ou sans grande difficulté déduire celles qui s'appliquent aux autres. 



